선형대수
● 선형대수의 필요성
선형대수를 간단하게 설명하면 주어진 데이터를 어떤 공간, 예를 들어 2차원의 공간으로 표현한 것이라 할 수 있다.
어떤 현상을 ‘이해’한다는 것은 해당 현상의 여러 속성을 값으로 파악하는 것이다.
그중에는 수치로 표현되는 정량적인 속성도 있고, 그렇지 않은 정성적인 속성도 있다.
이때 수치로 표현되는 정량적인 속성을 객관적이고 과학적으로 이해하려면 수학적 표현과 접근이 필요한데, 선형대수는 바로 그 기반을 마련해준다.
두 벡터 중에서 벡터 c를 좀 더 살펴보자.
예를 들어 어떤 힘을 나타내는 벡터 c가 두 배가 된다는 것은 어떤 의미일까?
벡터 c가 두 배가 된다는 것은 같은 방향으로 힘의 세기가 두 배 된다는 것을 의미한다.
만약 벡터 c와 힘의 크기는 같지만, 방향만 반대인 벡터는 어떻게 표현할까?
그 벡터는 같은 길이이지만 방향이 반대인 화살표를 생각할 수 있다. 이 ‘반대 방향 화살표’를 수치적으로 나타내기 위해 기존 벡터에 -1을 곱해보자.
벡터 c에 1을 곱하면 c는 변하지 않는다.
변하지 않는다는 의미는 크기와 방향이 변하지 않음을 의미한다.
-1을 곱한다면 크기는 변하지 않지만, 방향은 반대가 된다.
이때 곱하는 값은 숫자이고, 곱하는 벡터는 여러 숫자로 구성된 벡터이다.
곱하는 숫자를 ‘스칼라’라고 부르며, 벡터와 스칼라의 곱은 이처럼 벡터의 방향과 세기를 변화시킨다. 벡터 c에 -1을 곱한 벡터 e는 다음과 같다.
벡터 e와 벡터 c를 더하면 어떻게 될까?
다음과 같이 두 벡터가 서로 상쇄되어 0으로만 구성된 0 벡터가 나온다. 힘으로 이해한다면 아무런 힘도 가해지지 않은 상태가 된다.
편의상 c-c로 표현할 수 있으며 이는 바로 벡터의 차가 된다.
● 행렬
행렬은 행과 열이 있는 2차원 구조의 값을 지칭한다(벡터의 차원은 벡터가 갖는 값의 개수이고, 여기서의 2차원 구조는 행과 열이 있는 표를 의미한다).
하지만 단순한 값의 모음으로 이해하기보다는 위의 예처럼 벡터들이 모인 것으로 이해할 수도 있다.
행렬은 일반적으로 알파벳 대문자로 표현하며, 행렬 안에 있는 값은 원소(element)라고 부른다.
● 행렬의 종류
행렬 중에서도 원소의 값이 모두 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 한다.
행과 열의 크기가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 한다.
정방행렬에서 대각선에 해당되는 곳(대각 성분)만 0이 아니고, 나머지(비대각 성분) 원소의 값이 0인 경우가 있는데 이런 행렬은 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다.
굳이 0인 비대각 성분을 다 표현하는 것은 그다지 효율적인 방법이 아닐 수 있다.
그래서 대각행렬은 다음과 같이 표현하기도 한다.
대각행렬은 행렬의 대각선에서 여러 값의 조합으로 구성될 수 있고, 그중에서도 값이 1로만 구성된 행렬을 항등행렬(identity matrix)이라 부른다.
다음은 3행 3열짜리 항등행렬이다.
그 외에도 대각선을 기준으로 위 쪽에만 원소 값이 있는 상삼각행렬(upper triangular matrix), 대각선을 기준으로 아래 쪽에만 원소 값이 있는 하삼각행렬(lower triangular matrix) 등이 있다.
