2-5 . 행렬식, 역행렬

 

●   행렬식 (determinant), 역행렬 (Inverse matrix)

 

 

행렬식과 역행렬 그리고 이를 이용한 일차방정식의 해를 구하는 방법을 살펴보고자 한다. 

항등행렬은 항등행렬에 어느 행렬을 곱하면 항상 곱한 행렬이 나오는 행렬이었다.

 

 

 

 

행렬 A는 정방행렬이며 그 값이 주어져 있고, 행렬 I는 항등행렬이다. 

이때 행렬 B는 모르는 상태이고 위 식을 통해 B를 구하려고 한다. 

이 식을 만족하는 B는 왜 필요할까?

 

 

 

만약 A와 I의 값을 알고 있다면 B를 더 쉽게 구할 수 있다. 

행렬 A를 어떤 행렬에 곱해서 항등행렬이 나오면 전체적인 식 계산이 훨씬 쉬워지기 때문이다. 

이러한 어떤 행렬을 역행렬이라고 부르며 좀 더 정확한 정의는 다음과 같다. 

 

 

 

다음 식을 만족하는 행렬 B가 있는 경우, 행렬 A는 비특이행렬(nonsingular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix), 정칙행렬(regular matrix)이라고 하며, B는 A의 역행렬이 된다.

 

 

 

 

A의 역행렬 B는 A-1로 표시하며 다음을 만족한다.

 

 

- 역행렬 계산식

 

 

 

 

 

 

이때 det(A)를 행렬 A의 행렬식이라 하며, 그 값은 스칼라, 숫자가 된다. 

A의 행렬식을 구하는 방식은 다음과 같다.

 

 

 

 

 

A가 3×3 정방행렬이라면 그때는 소행렬식(minor)과 여인수(cofactor)를 통해 계산할 수 있다.

 

 

 

 

 

행렬식의 결과는 스칼라이고, 행렬 A의 원소의 값에 따라 다양한 값이 될 수 있다. 

행렬식이 0이면 어떻게 될까? 

 

 

이 경우는 1을 0으로 나누는 것이어서 수학에서 불능(不能)이라고 부르는, 답을 구할 수 없는 경우가 된다. 

그렇기 때문에 행렬식이 0이면 역행렬을 구할 수 없다. 

 

 

 

그러므로 행렬식을 먼저 계산하는 것은 어떤 행렬이 역행렬을 가질 수 있는지를 알려주는 중요한 정보가 된다.

 

 

 

 

소행렬식 :  행렬 A의 행이나 열을 제거하여 행렬 A보다 작게 만드는 행렬을 소행렬이라고 하는데 이때 소행렬의 행렬식이 소행렬식이다.

여인수 : 소행렬의 행렬식에 적당한 부호를 붙인 값으로 행렬 A의 행렬식을 구할 때 사용된다.

 

 

 

 

 

 

 

행렬식 det(A)는 다음과 같이 구한다.