2-3 . 행렬의 내적와 외적

● 행렬의 곱

행렬과 행렬의 곱셈에서 가장 중요한 것은 곱하는 두 행렬에서 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열을 곱하는 것이다.

따라서 행렬 간의 곱에서는 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열의 수가 같아야만 한다.

두 행렬 A, B의 곱셈은 다음과 같은 순서로 이뤄진다.

결과 행렬의 1행 1열의 값을 예로 들어보면,

이 값을 구하려면 A의 1행과 B의 1열을 곱해야 된다.

A의 1행은 1과 0을 갖는 횡벡터이고, B의 1열은 2와 3을 갖는 종벡터이다.

횡벡터와 종벡터의 곱은 원소의 위치에 대응하는 값끼리 곱한 다음 더하는 것이다.

벡터 간의 곱셈에서 암기가 필요한 부분은 앞의 벡터는 횡벡터, 뒤의 벡터는 종벡터부터 계산한다는 것이다.

이 방식에 의하면 횡×종의 경우(두 벡터의 원소의 수가 같은 경우), 하나의 숫자가 나오게 되고 이를 내적(inner product)이라 부른다.

만약 두 벡터의 원소의 수가 같은데 앞 벡터는 종벡터이고, 뒤 벡터는 횡벡터이면 어떻게 될까?

우선, 앞 벡터가 종벡터이므로 열의 수는 항상 1이 되고, 뒤 벡터가 횡벡터이므로 행의 수는 항상 1이 된다.

곱셈은 가능하다.

앞 벡터의 각 행에는 숫자 한 개만 있고, 뒤 벡터의 각 열에도 숫자 한 개만 있게 되며, 두 숫자를 차례대로 곱하면 된다.

종벡터와 횡벡터의 곱은 횡벡터와 종벡터의 곱과는 완전히 다른 결과를 주며, 이를 외적(outer product)이라고 부른다.

-> 행렬에서 교환 법칙은 성립하지 않는다.

-> 행렬에서 결합 법칙은 성립한다.

-> 행렬에서 분배법칙은 성립한다.

내적과 외적은 계산 방식을 통해 이해할 수 있고, 또는 앞서 설명한 공간에서의 벡터 관점으로 이해할 수도 있다.

공간에서 어떤 상태 또는 힘이 벡터인데, 그 벡터에 내적으로 벡터를 곱하면 결과는 한 숫자, 즉 크기만 남는다.

공간에서의 위치라는 개념이 사라지고 특정한 크기만 남는 것이다. 반면 외적으로 벡터끼리 곱하면 더 큰 차원의 행렬이 만들어진다.

모 하 지